Question

已知z是復數，z+2i，

z

2-i

均為實數（i為虛數單位）．
（1）求z；
（2）如果復數（z-ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設z=x+yi（x、y∈R），根據z+2i=x+（y+2）i為實數可得y的值．再由

z

2-i

=

x-2i

2-i

=

1

5

(x-2i)(2+i)=

1

5

(2x+2)+

1

5

(x-4)i 為實數，可得x的值，從而求得z．
（2）由題意可知

-a2-4a+12＞0 -8(a+2)＞0

，由此求得a的范圍．

解答：解：（1）設z=x+yi（x、y∈R），…（1分）∵z+2i=x+（y+2）i，由題意得y=-2．…（3分）
∵

z

2-i

=

x-2i

2-i

=

1

5

(x-2i)(2+i)=

1

5

(2x+2)+

1

5

(x-4)i 為實數，可得x=4，∴z=4-2i．…（6分）
（2）∵（z-ai）²=（-a²-4a+12）-8（a+2）i，對應點在第一象限，…′（8分）
可知

-a2-4a+12＞0 -8(a+2)＞0

，即：

a2+4a-12＞0 a+2＜0

，…（10分）
解得

-6＜a＜2 a＜-2

，∴-6＜a＜-2，
即實數a的取值范圍是（-6，-2）．…（12分）

點評：本題主要考查復數的代數表示及其幾何意義，復數與復平面內對應點之間的關系，屬于基礎題．