Question

設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點在拋物線y=2x²上,l是AB的垂直平分線.
(1)當且僅當x₁+x₂取何值時,直線l經過拋物線的焦點F?證明你的結論.
(2)當直線l的斜率為2時,求l在y軸上的截距的取值范圍.

Answer 1

l在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).

(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點到拋物線準線的距離相等y₁=y₂x₁²=x₂²(x₁+x₂)
(x₁-x₂)=0,由A、B為兩點,∴x₁≠x₂x₁+x₂=0.
故x₁+x₂=0時,直線l經過焦點F.
(2)設l:y=2x+b,
∵l⊥AB,
設AB：y=-x+m,聯立y=2x²,
∴2x²+x-m=0,

設AB中點N(x₀,y₀),
則
由點N∈l,∴+m=-+b,
b=+m>-=.
∴l在y軸上截距的取值范圍是(,+∞).