Question

【題目】如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，若∠PDA=45°，
（1）求證：MN∥平面PAD且MN⊥平面PCD．
（2）探究矩形ABCD滿足什么條件時，有PC⊥BD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取PD的中點E，連接AE，NE．

E、N分別為PD，PC的中點，

所以：EN∥CD， ，

又M為AB的中點，

所以： ，AM∥CD，

EN∥AM，EN=AM，

所以：四邊形AMNE為平行四邊形．

MN∥AE，

所以：MN∥平面PAD，

PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°，

所以：△PAD是等腰直角三角形，

所以：AE⊥PD．

又CD⊥AD，CD⊥PA，AD交PA于A，

所以：CD⊥平面PAD，AE平面PAD，

所以：CD⊥AE，

又CD交PD于D，

所以：AE⊥平面PCD，

則：MN⊥平面PCD

（2）若 PC⊥BD，又PA⊥BD，PA交PC于P，

所以：BD⊥平面PAC，

所以：BD⊥AC，即矩形ABCD的對角線互相垂直．

此時矩形為正方形．

即當矩形ABCD為正方形時，滿足PC⊥BD．

【解析】（1）利用三角形的中位線得到線線平行，進一步得到線面平行，利用線線垂直進一步轉化成線面垂直．（2）利用線面垂直轉化線線垂直，最后確定矩形是正方形．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的判定(一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想)的相關知識才是答題的關鍵．