Question

【題目】已知橢圓左頂點為M，上頂點為N，直線MN的斜率為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）直線l：與橢圓交于A，C兩點，與y軸交于點P，以線段AC為對角線作正方形ABCD，若．

（）求橢圓方程；

（）若點E在直線MN上，且滿足，求使得最長時，直線AC的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據直線MN的斜率可得，即可求出離心率；

（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得及，根據勾股定理即可求出b的值；根據平行間的距離公式求出，再根據勾股定理和二次函數的性質即可求出最長時的值，即可求出直線的方程。

解：（Ⅰ）左頂點為M，上頂點為N，直線MN的斜率為．

，

，

（Ⅱ）由Ⅰ知橢圓方程為，

設，，線段AC中點Q

則，整理得：，

由，

則，，

，

則，

由l與y軸的交點，

，，

，

，

即，

橢圓方程為；

由可知，

直線MN的方程為，

直線MN與直線l的距離為，

點E在直線MN上，且滿足，

，

，

當時，此時最長，

故直線AC的方程.