Question

給出下列四個命題：
①有兩個側面是矩形的四棱柱是直四棱柱；
②若f（x）是單調函數，則f（x）與它的反函數f ^-1（x）具有相同的單調性；
③若兩平面垂直相交于直線m，則過一個平面內一點垂直于m的直線就垂直于另一平面；
④在120°的二面角內放一個半徑為6的球，使它與兩個半平面各有且僅有一個公共點，則球心到這個二面角的棱的距離是2

3

．其中，不正確命題的序號為

①

．

Answer 1

分析：①當兩個側面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱；當兩個側面是矩形且不相鄰時，四棱柱不是直四棱柱；
②若f（x）是單調函數，必然存在反函數，根據互為反函數的兩個函數關于y=x對稱，故具有相同的單調性；
③根據面面垂直的性質定理可知，結論正確；
④由題意可得，∠APB=120°，根據切線的性質可得，OA⊥AP，OB⊥PB，從而可得∠AOB=60°，從而可求球心到這個二面角的棱的距離

解答：解：①當兩個側面是矩形且相鄰時，四棱柱是直四棱柱；當兩個側面是矩形且不相鄰時，四棱柱不是直四棱柱，故①錯；
②若f（x）是單調函數，必然存在反函數，根據互為反函數的兩個函數關于y=x對稱，可知②正確；
③根據面面垂直的性質定理可知，若兩平面垂直相交于直線m，則過一個平面內一點垂直于m的直線就垂直于另一平面，故正確；
④由題意可得，∠APB=120°，連接OA，OB，則根據切線的性質可得，OA⊥AP，OB⊥PB
∴∠AOB=60°
∴球心到這個二面角的棱的距離是OP=2

3

，故正確．
故答案為：①

點評：本題以命題為載體，考查立體幾何中的概念與性質，解題時應一一判斷，正確運用相關定理．