Question

【題目】已知向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），函數f（x）= ．
（1）求f（x）的單調遞增區間；
（2）求函數f（x）在區間[0， ]的最值及所對應的x值．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），

函數f（x）=

=﹣2sin2x+2 sinxcosx

=﹣2× + sin2x

= sin2x+cos2x﹣1

=2sin（2x+ ）﹣1；

根據正弦函數的圖象與性質，

令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，

所以函數f（x）的單調遞增區間是[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z

（2）解：當x∈[0， ]時，2x+ ∈[ ， ]，

所以sin（2x+ ）∈[﹣ ，1]，

所以sin（2x+ ）﹣1∈[﹣ ，0]，

所以當x= 時，函數f（x）在區間[0， ]上取得最小值﹣ ，

x= 時，函數f（x）取得最大值0

【解析】根據平面向量的數量積求出f（x）的解析式，（1）根據正弦函數的圖象與性質，求出函數f（x）的單調遞增區間；（2）求出x∈[0， ]時sin（2x+ ）的取值，從而求出函數f（x）在區間[0， ]上的最值以及對應x的值．
【考點精析】關于本題考查的正弦函數的單調性，需要了解正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數才能得出正確答案．