Question

【題目】如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，某學生得出下列四個結論：

①BD⊥AC； ②△BAC是等邊三角形；

③三棱錐D－ABC是正三棱錐； ④平面ADC⊥平面ABC。

其中正確的是___________

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

設等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=a，
①利用面面垂直的性質定理易證BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，從而可知BD⊥AC，可判斷①；
②依題意及設法可知，

利用勾股定理可求得，從而可判斷②；
③又因為DA=DB=DC，根據正三棱錐的定義判斷；
④作出平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，從而可判斷④．

設等腰直角三角形△ABC的腰為a，則斜邊BC=a，

D為BC的中點，∴AD⊥BC，
又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=AD，BD⊥AD，BD平面ABD，
∴BD⊥平面ADC，又AC平面ADC，
∴BD⊥AC，故①正確；
②由A知，BD⊥平面ADC，CD平面ADC，
∴BD⊥CD，又∴由勾股定理得：，又AB=AC=a，
∴△ABC是等邊三角形，故②正確；
③∵△ABC是等邊三角形，DA=DB=DC，
∴三棱錐D-ABC是正三棱錐，故③正確．
④∵△ADC為等腰直角三角形，取斜邊AC的中點F，則DF⊥AC，又△ABC為等邊三角形，連接BF，則BF⊥AC，

∴∠BFD為平面ADC與平面ABC的二面角的平面角，
由BD⊥平面ADC可知，∠BDF為直角，∠BFD不是直角，故平面ADC與平面ABC不垂直，故④錯誤；
綜上所述，正確的結論是①②③．