【題目】如圖，在四棱椎
中， 
是棱
上一點，且
，底面
是邊長為2的正方形， 
為正三角形，且平面
平面
，平面
與棱
交于點
.
(1)求證：平面
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析(2) 
【解析】試題分析：(1)在正方形
中， 
，由面面垂直的性質定理可得
，∴
平面
，又
平面
，∴
，進而證得
，又
平面
， 
，
∴
平面
，∵
平面
，∴平面
平面
.
(2)取
中點
，以
為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
，求出相關點的坐標，進而得到平面
的一個法向量
，平面
的一個法向量
.由空間的夾角公式可求兩個向量的的夾角，又由題意可得二面角
為鈍角，即可得到二面角
的余弦值.
試題解析：
(1)在正方形
中， 
，又平面
平面
，且平面
平面
，
∴
平面
，又
平面
，∴
，∵底面
是正方形，∴
，
又
平面
， 
平面
，∴
平面
.
又
四點共面，且平面
平面
，∴
，∴
，
又
，∴
為棱
的中點， 
是棱
中點，
∵
是正三角形，∴
，又
平面
， 
，
∴
平面
，∵
平面
，∴平面
平面
.
(2)取
中點
，以
為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系
，則
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
.
設平面
的法向量為
，則
，∴
， 
， 
，解得
， 
，令
，則
為平面
的一個法向量，設平面
的法向量為
，則
， 
，
∴
， 
，得
， 
，令
，則
為平面
的一個法向量.
∴
，由圖知二面角
為鈍角，
∴二面角
的余弦值為
.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
[10，15） | 10 | 0.25 |
[15，20） | 25 | n |
[20，25） | m | p |
[25，30） | 2 | 0.05 |
合計 | M | 1 |
（1）求出表中M，p及圖中a的值；
（2）若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區服務的次數在區間[15，20）內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區服務次數在區間[20，25）內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在各棱長均為
的三棱柱
中，側面
底面
， 
.
（1）求側棱
與平面
所成角的正弦值的大小；
（2）已知點
滿足
，在直線
上是否存在點
，使
平面
？若存在，請確定點
的位置，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖 1，在直角梯形
中， 
，且
．現以
為一邊向形外作正方形
，然后沿邊
將正方形
翻折，使
平面與平面
垂直， 
為
的中點，如圖 2．
（1）求證： 
平面
；
（2）求證： 
平面
；
（3）求點
到平面
的距離.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，
，
為橢圓的兩個焦點，
為橢圓上任意一點，且
，
構成等差數列，過橢圓焦點垂直于長軸的弦長為3.
(1)求橢圓
的方程；
(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點
，且
，求出該圓的方程.
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