Question

設不等邊三角形ABC的外心與重心分別為M、G，若A（-1，0），B（1，0）且MG∥AB．
（Ⅰ）求三角形ABC頂點C的軌跡方程；
（Ⅱ）設頂點C的軌跡為D，已知直線L過點（0，1）并且與曲線D交于P、N兩點，若O為坐標原點，滿足OP⊥ON，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（I）設C（x，y）（xy≠0），由三角形重心坐標公式得到x=3a，y=3b，再由|MA|=|MC|，得到三角形頂點C的軌跡方程．
（II） 設直線l的方程為 y=kx+1，代入x2+

y2

3

= 1，把根與系數的關系代入由OP⊥ON得到的x₁•x₂+y₁y₂=0 中，求出斜率k，即得直線l的方程．

解答：解：（I）設C（x，y）（xy≠0），∵MG∥AB，可設G（a，b），則M（0，b）．
∴a=

-1+1+x

3

，b=

0+o+y

3

，即  x=3a，y=3b   （1）．  
∵M是不等邊三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，即

1+b2

=

x2+(b-y)2

  （2）．
由（1）（2）得  x2+

y2

3

= 1．所以，三角形頂點C的軌跡方程為  x2+

y2

3

= 1，（xy≠0）．
（II）設直線l的方程為 y=kx+1，P（ x₁，y₁），N （x₂，y₂），
由

y = kx + 1 x2+ y2 3 = 1

  消y得 （3+k²）x²+2kx-2=0．∵直線l與曲線D交于P、N兩點，
∴△=b²-4ac=4k²+8（3+k²）＞0，x₁+x₂=-

2k

3+k2

，x₁•x₂=-

2

3+k2

．
∵OP⊥ON，∴x₁•x₂+y₁y₂=0，∴x₁•x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0．
∴1+k²（-

2

3+k2

）+k （-

2k

3+k2

）+1=0，∴k=±

3

3

，
∴直線l的方程為 y=±

3

3

 x+1．

點評：本題考查三角形重心坐標公式，一元二次方程根與系數的關系，兩直線垂直的性質，求直線l的斜率是解題的難點．