Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交 于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．

（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵ED與⊙O相切于D，

∴OD⊥DE，

∵F為弦AC中點，

∴OD⊥AC，

∴AC∥DE．

（2）

解：作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD．

首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據S平行四邊形ACDE=AEDM，只要求出DM即可．

∵AC∥DE，AE=AO，

∴OF=DF，

∵AF⊥DO，

∴AD=AO，

∴AD=AO=OD，

∴△ADO是等邊三角形，同理△CDO也是等邊三角形，

∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，

∴AO∥CD，又AE=CD，

∴四邊形ACDE是平行四邊形，易知DM= a，

∴平行四邊形ACDE面積= a2．

【解析】本題考查切線的性質、平行四邊形的性質、垂徑定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，利用特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型．（1）欲證明AC∥DE，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．（2）作DM⊥OA于M，連接CD，CO，AD，首先證明四邊形ACDE是平行四邊形，根據S平行四邊形ACDE=AEDM，只要求出DM即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平行四邊形的性質和垂徑定理的推論的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．