【題目】已知函數
.
（1）若
，求函數
的最小值；
（2）當
時，若對
，
，使得
成立，求
的范圍.
【答案】（1）當
時
的最小值為
，當
時的最小值為
,當
時，最小值為
.（2）
【解析】試題分析：（1）本問考查利用導數求函數的最值，對函數求導數，
，令
得
，對
分類討論，當
，
，
時，分別討論函數在區間
上的單調性，從而求出函數的最小值；（2）本問主要考查“任意”、“存在”問題的等價轉化，對
，
，使得
成立”等價于“
在
上的最小值不大于在上的最小值”.即
由（1）問易得到函數的最小值，然后通過對
的討論求
即可.
試題解析：(I)，令得.
當即時，在上
，遞增，的最小值為
.
當即時，在
上
，為減函數，在
上，為增函數. ∴的最小值為
.
當即時，在上，遞減，的最小值為
.
綜上所述，當時的最小值為
，當時的最小值為
,當時，最小值為
.
(II)令
由題可知“對，，使得成立”
等價于“在上的最小值不大于在上的最小值”.
即
由(I)可知，當
時，
.
當時，
，
①當
時，
由
得
，與矛盾，舍去.
②當
時，
由
得
，與矛盾，舍去.
③當
時，
由
得
綜上，的取值范圍是.
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高一年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取
名學生作為樣本，得到這
名學生參加社區服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 10 | 0.25 |
| 25 |
|
|
|
|
| 2 | 0.05 |
合計 |
| 1 |
（1）求出表中
及圖中
的值；
（2）試估計他們參加社區服務的平均次數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至少1人參加社區服務次數在區間
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】以直角坐標系的原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線
的參數方程為
，（ 
為參數， 
），曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的直角坐標方程；
（2）設直線
與曲線
相交于
， 
兩點，當
變化時，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，F為弦AC的中點，連接OF并延長交 
于點D，過點D作⊙O的切線，交BA的延長線于點E．
（1）求證：AC∥DE；
（2）連接CD，若OA=AE=a，寫出求四邊形ACDE面積的思路．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高三文科500名學生參加了5月份的模擬考試，學校為了了解高三文科學生的數學、語文情況，利用隨機數表法從中抽取100名學生的成績進行統計分析，抽出的100名學生的數學、語文成績如下表：
（1）將學生編號為：001，002，003，……，499，500.若從第5行第5列的數開始右讀，請你依次寫出最先抽出的5個人的編號（下面是摘自隨機數表的第4行至第7行）
（2）若數學的優秀率為
，求
的值；
（3）在語文成績為良好的學生中，已知
，求數學成績“優”比“良”的人數少的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】【2017屆湖南省長沙市高三上學期統一模擬考試文數】已知過
的動圓恒與
軸相切，設切點為
是該圓的直徑．
（Ⅰ）求
點軌跡
的方程；
（Ⅱ）當
不在y軸上時，設直線
與曲線
交于另一點
，該曲線在
處的切線與直線
交于
點．求證: 
恒為直角三角形．
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