Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求點E到平面ACD的距離；
（III）求二面角A-CD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）如圖所示，要證AO⊥平面BCD，只需證AO⊥BD，AO⊥CO即可，結合已知條件，根據勾股定理即可得到答案．
（II）以O為原點，以OB，OC，OA方向為x，y，z軸正方向，建立空間坐標系，求出平面ACD的法向量的坐標，根據點E到平面ACD的距離h=

| EC • n |

| n |

，可求出點E到平面ACD的距離；
（III）結合（II）中結論，再由AO⊥平面BCD，即

AO

為平面BCD的一個法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角A-CD-B的余弦值．

解答：證明：（I）△ABD中，∵AB=AD=

2

，O是BD中點，BD=2
∴AO⊥BD且 AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，連接OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD且 CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO²+CO²=AC²故AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD．（5分）
解：（II）如圖建立空間直角坐標系，設平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z）則

n • AD =0 n • AC =0

即

x+z=0 3 y-z=0

．（7分）

令y=1得

n

=（-

3

，1，

3

）是平面ACD的一個法向量．．（8分）
又

EC

=（-

1

2

，

3

2

，0）
∴點E到平面ACD的距離h=

| EC • n |

| n |

=

21

7

．（10分）
（III）∵AO⊥平面BCD
∴

AO

=（0，0，1）為平面BCD的一個法向量；
∴cos＜

AO

，

n

＞=

AO • n

| AO |•| n |

=

21

7

則二面角A-CD-B的余弦值為

21

7

．（14分）

點評：本題考查的知識點是空間直線與平面垂直的判定，空間點到平面的距離，二面角的平面角，其中（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化，（II）（III）的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法解決空間距離和夾角問題．