Question

把所有正整數按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數表，其中第行共有個正整數.設（i、j∈N*）表示位于這個數表中從上往下數第i行，從左往右數第j個數.

（Ⅰ）若＝2010，求i和j的值；
（Ⅱ）記N*)，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）i＝11,
（Ⅱ）當，2，3時,  當時，

（Ⅰ）因為數表中前i－1行共有個數，則第i行的第一個數是，所以                                 （2分）
因為，＝2010，則i－1＝10，即i＝11．             （4分）
令，則.           （5分）
（Ⅱ）因為，則N*).          （6分）
所以.
所以.      （7分）
檢驗知，當，2，3時，，即.      （8分）
猜想：當時，.               （9分）
證法一：當時,
. （12分）
綜上分析，當時，；當時，.   （13分）
證法二：①當時，，所以成立. （10分）
②假設當時，不等式成立，即.
則.
因為，
所以，即當時，猜想也正確.
由①、②得當時, 成立.
綜上分析，當時，；當時，.       （13分）