Question

過點M（-2，0）的直線m與橢圓

x2

2

+y2=1交于P₁，P₂，線段P₁P₂的中點為P，設直線m的斜率為k₁（k₁≠0），直線OP的斜率為k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析：點斜式寫出直線m的方程，代入橢圓的方程化簡，利用根與系數的關系及中點公式求出P的橫坐標，再代入直線m的方程
求出P的縱坐標，進而求出直線OP的斜率k₂，計算 k₁k₂的值．

解答：解：過點M（-2，0）的直線m的方程為  y-0=k₁（x+2 ），代入橢圓的方程化簡得
（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-2=0，∴x₁+x₂=

-8k12

2k12+1

，∴P的橫坐標為

-4k12

2k12+1

，
 P的縱坐標為k₁（x₁+2 ）=

2k1

2k12+1

，即點P（

-4k12

2k12+1

，

2k1

2k12+1

），
直線OP的斜率k₂=

-1

2k1

，
∴k₁k₂=-

1

2

．

點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系，線段中點公式的應用，求出點P的坐標是解題的關鍵和難點．