Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于兩點A，B，設P為橢圓上一點，且滿足

OA

+

OB

=t

OP

（O為坐標原點），求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切的充要條件列出方程求出b的值，利用橢圓的離心率公式得到a，c的關系，再利用橢圓本身三個參數的關系求出a，c的值，將a，b的值代入橢圓的方程即可；
（2）設AB的方程代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，利用

OA

+

OB

=t

OP

確定A，B，P三點之間的關系，利用點P在橢圓上，建立方程，從而可求實數t的取值范圍．

解答：解：（1）∵以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切
∴

2

2

=b，∴b=1
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，
∴

c

a

=

2

2

∴

a2-1

a2

=

1

2

∴a²=2
∴橢圓C的方程為：

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）由題意知直線AB的斜率存在．
設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
代入橢圓方程，消元可得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0．
∴△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，∴k2＜

1

2

．
∵

OA

+

OB

=t

OP

∴x=

x1+x2

t

=

8k2

t(1+2k2)

，y=

-4k

t(1+2k2)

（8分）
∵點P在橢圓上，∴

(8k2)2

t2(1+2k2)2

+2

(-4k)2

t2(1+2k2)2

=2，
∴16k²=t²（1+2k²）…（10分）
∴t2=8-

8

1+2k2

，
∵k2＜

1

2

，∴t²∈（0，4）
∴t∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

點評：本題重點考查圓錐曲線的方程，考查直線與圓錐曲線的位置關系，解題的關鍵是利用待定系數法求圓錐曲線的方程．