Question

【題目】已知過點M（ ，0）的直線l與拋物線y2=2px（p＞0）交于A，B兩點，且 =﹣3，其中O為坐標原點．
（1）求p的值；
（2）當|AM|+4|BM|最小時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設A（x1，y1），Bx2，y2），直線l：x=my+ ，

代入拋物線方程，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，

y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，

由于 =﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，

x1x2= = ，

即有 ﹣p2=﹣3，解得，p=2

（2）解：由拋物線的定義，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，

則|AM|+4|BM|=x1+4x2+5 +5=9，

當且僅當x1=4x2時取得最小值9．

由于x1x2=1，則解得，x2= （負的舍去），

代入拋物線方程y2=4x，解得，y2= ，即有B（ ），

將B的坐標代入直線x=my+1，得m= ．

則直線l：x= y+1，即有4x+ y﹣4=0或4x﹣ y﹣4=0

【解析】（1）設A（x1 ， y1），Bx2 ， y2），直線l：x=my+ ，代入拋物線方程，運用韋達定理，及平面向量的數量積的坐標表示，即可得到p=2；（2）運用拋物線的定義，及均值不等式，即可得到最小值9，注意等號成立的條件，求得B的坐標，代入直線方程，求得m，即可得到直線l的方程．