Question

9、已知y=x（x-1）（x+1）的圖象如圖所示，今考慮f（x）=x（x-1）（x+1）+0.01，則方程f（x）=0①有三個實根；②當x＜-1時，恰有一實根（有一實根且僅有一實根）；③當-1＜x＜0時，恰有一實根；④當0＜x＜1時，恰有一實根；⑤當x＞1時，恰有一實根．則正確結論的編號為

①②

．

Answer 1

分析：計算f（-2）與f（-1）的值，根據根的存在性定理可知在（-2，-1）內有一個實根，結合圖象可知方程f（x）=0在（-∞，-1）上，只有一個實根，故②正確，由圖知f（x）=0在（-1，0）上沒有實數根，所以③不正確，f（x）=0在（0，1）上有兩個實根，④不正確，f（x）=0在（1，+∞）上沒有實根，⑤不正確．并且由此可知①也正確．

解答：解：∵f（-2）=-2×（-3）×（-1）+0.01=-5.99＜0，
f（-1）=0.01＞0，即f（-2）•f（-1）＜0，
∴在（-2，-1）內有一個實根．
由圖中知：方程f（x）=0在（-∞，-1）上，只有一個實根，
所以②正確．
又∵f（0）=0.01＞0，由圖知f（x）=0在（-1，0）上沒有實數根，
所以③不正確
又∵f（0.5）=0.5×（-0.5）×1.5+0.01=-0.365＜0，
f（1）=0.01＞0，即f（0.5）f（1）＜0，
所以f（x）=0．
在（0.5，1）上必有一個實根，且f（0）•f（0.5）＜0，
∴f（x）=0在（0，0.5）上也有一個實根．
∴f（x）=0在（0，1）上有兩個實根，④不正確．
由f（1）＞0且f（x）在（1，+∞）上是增函數，
∴f（x）＞0，f（x）=0在（1，+∞）上沒有實根．
∴⑤不正確．并且由此可知①也正確．
答案①②

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及三次函數的圖象的應用，屬于基礎題．