Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2）=1，f′（x）為f（x）的導函數．已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數a，b滿足f（2a+b）＞1，則

b-1

a-2

的取值范圍是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，1)
• B．(-∞，-

  1

  2

  )∪(1，+∞)
• C．（-2，1）
• D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

分析：先根據導函數的圖象判斷原函數的單調性，從而確定a、b的范圍，最后利用線性規劃的方法得到答案．

解答：解：由圖可知，當x＞0時，導函數f'（x）＜0，原函數單調遞減，
∵兩正數a，b滿足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，
∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，畫出可行域如圖．
k=

b-1

a-2

表示點Q（2，1）與點P（x，y）連線的斜率，
當P點在A（1，0）時，k最大，最大值為：

1-0

2-1

=1；
當P點在B（0，2）時，k最小，最小值為：

1-2

2-0

=-

1

2

．
k的取值范圍是（-

1

2

，1）．
故選A．

點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．