Question

已知函數f（x）=x（x-a）²，g（x）=

a

2

x2，x∈（-∞，0）且a＜0．
（Ⅰ）求函數y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標；
（Ⅱ）設函數y=f（x），y=g（x）的圖象在同一交點處的兩條切線分別為l₁，l₂，是否存在這樣的實數a，使得l₁⊥l₂？若存在，請求出a的值和相應交點的坐標；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若對任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接令f（x）-g（x）=0求出對應的自變量進而求出函數y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標；
（Ⅱ）先求出兩個函數的導函數，再求出對應的斜率，根據l₁⊥l₂，得到關于a的方程，求出a的值即可得到結論；
（Ⅲ）先把問題轉化為：g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值；再通過求導函數得到函數f（x）在[-1，0）上的最小值，與g（x）在[-1，0）上的最大值相比即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）-g（x）=x（x-a）²-

a

2

x²=0得x²-

5

2

ax+a²=0解得x=

a

2

，x=2a：
所以，函數y=f（x）和y=g（x）在（-∞，0）上圖象的交點坐標為A（

a

2

，

a2

8

）和B（2a，2a²）．
（Ⅱ）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²存在這樣的實數a，使得l₁⊥l₂，則有
（1）在點A（

a

2

，

a2

8

）處，g'（

a

2

）f'（

a

2

）=-1，
a•

a

2

•（3×

a2

4

-2a²+a²）=-1得

a4

8

=1．
∵a＜0故a=-

4	8

，此時點A坐標為（-

4， 8

2

，-

4 2

2

），
（2）在點B（2a，2a²）處，有g'（2a）f'（2a）=-1
即a•2a•（3×4a²-8a²+a²）=-1得10a⁴=-1，無解．
綜上存在a=-

4	8

使l₁⊥l₂，此時交點坐標為（-

4， 8

2

，-

4 2

2

）．
（Ⅲ）“對任意x₁∈[-1，0），存在x₂∈[-1，0），使f（x₁）≥g（x₂），''等價于g（x）在[-1，0）上的最大值不大于f（x）在[-1，0）上的最小值
設f（x）在[-1，0）上的最小值為F（a），令f'（x）=0得x₁=

a

3

，x₂=a．
由此可得f（x）在（-∞，a）和（

a

3

，0）上單調遞增，在（a，

a

3

）上單調遞減
；當x=

a

3

時，x³-2ax²+a²x=

4

27

a3．整理得（x-

4

3

a）（x-

a

3

）²=0．
即直線y=

4

27

a³與y=f（x）的圖象的另一交點的橫坐標為x=

4

3

a．
結合圖象可得
①若

a

3

＜-1即a＜-3，F（a）=f（x）_min=f（-1）=-（a+1）²；
②若

4

3

a＜-1≤

a

3

即-3≤a＜-

3

4

，F（a）=f（x）_min=f（

a

3

）=

4

27

a3；
③若

4

3

a≥-1即-

3

4

≤a＜0時，F（a）=f（-1）=-（a+1）²．
綜上F（a）=

-(a+1) 2 ，  a＜-3，- 3 4 ≤ a＜0 4 27 a3 ，       -3≤ a＜- 3 4

，
而g（x）在[-1，0）上單調遞增，故最小值為g（-1）=

a

2

．
當a＜-3，-

3

4

≤a＜0時，由

a

2

≤-（a+1）²得-2≤a≤-

1

2

．所以a∈[-

3

4

，-

1

2

]；
當a∈[-3，-

3

4

）時，

a

2

≤

4

27

a3得-

3

4

6

≤a≤

3

4

6

所以a∈[-

6

4

，-

3

4

）．
綜上可得a的取值范圍是[-

3 6

4

，-

1

2

]．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值以及利用導數研究函數的單調性，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．