Question

已知tan110°=a，求tan50°時，同學甲利用兩角差的正切公式求得：tan50°=

a- 3

1+ 3 a

；同學乙利用二倍角公式及誘導公式得tan50°=

1-a2

2a

；根據上述信息可估算a是介于

 

兩個連續整數之間．

Answer 1

分析：先根據正切函數的單調性判斷a的大致范圍，再由tan50°=

a- 3

1+ 3 a

=

1-a2

2a

得到關系a的等式并且一定有解，再構成函數后根據函數零點的判定定理縮小范圍得到答案．

解答：解：∵tan105°＜tan110°=a＜tam120°，
tan105°=tan（60°+45°）=

3 +1

1- 3

=-2-

3

，tan120°=-

3

∴-4＜-2-

3

＜a＜-

3

＜-1
∵tan50°=

a- 3

1+ 3 a

=

1-a2

2a

∴

3

a³+3a2-3

3

a-1=0有根
令f（a）=

3

a³+3a2-3

3

a-1，
∵f（-4）f（-3）=（-64

3

+48+12

3

-1）（-18

3

-26）＞0
f（-3）f（-2）=（-18

3

-26）（-2

3

+11）＜0
∴函數f（a）=

3

a³+3a2-3

3

a-1的零點一定在（-3，-2）上，
故

3

a³+3a2-3

3

a-1=0的根一定在（-3，-2）上
即a是介于在（-3，-2）上
故答案為：-3和-2

點評：本題主要考查正切函數的單調性與函數零點的判定定理．是一個綜合題．考查學生的綜合素養和基本運算能力．