Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求證：在上僅有個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出和，然后利用點(diǎn)斜式寫出所求切線的方程；

（2）利用當(dāng)時(shí)，來說明函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，并利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理證明出函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，并結(jié)合，可證明出函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn).

（1），則，，.

因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即；

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，由零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).