Question

已知點,的坐標分別是，.直線,相交于點，且它們的斜率之積為.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）若過點的兩直線和與軌跡都只有一個交點，且,求的值;
(3)在軸上是否存在兩個定點,,使得點到點的距離與到點的距離的比恒為,若存在，求出定點,；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）軌跡的方程為 
（2）
（3）存在定點，或，

試題分析：解： （1）設點的坐標為
由題可知,即，
化簡得 ，
所以點的軌跡的方程為                                 4分
（2）分四種情況討論
情況一：當直線和都與相切時，直線和與軌跡都只有一個交點。
設直線的方程為，即
由可知直線的方程為，即
因為直線和都與相切，所以 解得。             6分
情況二：當直線過點,直線過點時，直線和與軌跡都只有一個交點。
此時直線的斜率，直線的斜率
由知，解得。                                       7分
情況三：當直線過點,直線與相切時，直線和與軌跡都只有一個交點。
直線的斜率，由知直線的斜率
故直線的方程為，即
因為直線與相切，所以 解得。
情況四：當直線過點,直線與相切時，直線和與軌跡都只有一個交點。
直線的斜率，由知直線的斜率
故直線的方程為，即
因為直線與相切，所以 解得。               10分
綜上所述：的值為，1，。
（3）假設存在定點,,設，，
則化簡整理得（*）         11分
由于滿足，故（*）式可化為        12分
故解得或                                
故存在定點，或，，使得點到點的距離與到點的距離的比為。                                                              14分
點評：主要是考查了直線與原點位置關系的運用，以及軌跡方程的求解，屬于中檔題。