Question

已知曲線的方程為：（，為常數(shù)）.
（1）判斷曲線的形狀；
（2）設(shè)曲線分別與軸、軸交于點(diǎn)、（、不同于原點(diǎn)），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；
（3）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，且，求曲線的方程.

Answer 1

（1）圓；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）在曲線的方程兩邊同時(shí)除以，并進(jìn)行配方得到，從而得到曲線的具體形狀；（2）在曲線的方程中分別令與求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再驗(yàn)證的面積是否為定值；（3）根據(jù)條件得到圓心在線段的垂直平分線上，并且得到圓心與原點(diǎn)的連線與直線垂直，利用兩條直線斜率乘積為，求出值，并利用直線與圓相交作為檢驗(yàn)條件，從而確定曲線的方程.
試題解析：（1）將曲線的方程化為，
可知曲線是以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓；
（2）的面積為定值.
證明如下：
在曲線的方程中令得，得點(diǎn)，
在曲線方程中令得，得點(diǎn)，
（定值）；
（3）圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，且，
圓心在的垂直平分線上，，，
當(dāng)時(shí)，圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，
圓心到直線的距離，
直線與圓相離，不合題意舍去，
，這時(shí)曲線的方程為.