Question

已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．
求：（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？
若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（2）
（3）

試題分析：（1）設(shè)圓心為（）,利用直線與圓相切的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程解得的值，從而確定圓的方程；
（2）直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，利用圓心到直線的距離小于圓的半徑列不等式從而解出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，垂直平分弦的直線必過(guò)圓心，從而由兩點(diǎn)確定直線的斜率，進(jìn)一步由兩直線垂直的條件確定實(shí)數(shù)的值.
試題解析：（1）設(shè)圓心為（）．
由于圓與直線相切，且半徑為，所以，，
即．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041802928338.png" style="vertical-align:middle;" />為整數(shù)，故．
故所求的圓的方程是．
（2）直線即．代入圓的方程，消去整理，得
．由于直線交圓于兩點(diǎn)，
故，即，解得 ，或．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由（2）得，則直線的斜率為，
的方程為，即．
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以，解得．由于，
所以存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦.