Question

【題目】已知函數（其中）．

（1）當時，判斷零點的個數k；

（2）在（1）的條件下，記這些零點分別為，求證： ．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，根據零點列表分析導函數符號，進而確定函數單調性，再根據零點存在定理確定函數零點個數，（2）先根據零點條件化簡得，令則，利用導數研究函數單調性，根據單調性得，即證得結論.

試題解析：（1）由題知x＞0， ，

所以，由得，

當x＞時， ， 為增函數；當0<x<時， ， 為減函數，

所以，

而，

所以當時， 零點的個數為2．

（2）由（1）知的兩個零點為，不妨設，

于是且

兩式相減得（*）， 令，

則將代入（*）得，進而，

所以，

下面證明，其中，

即證明，設，

則，令，則，

所以為增函數，即為增函數，

故，所以為減函數，

于是，即．

所以有，從而．