Question

已知函數f（x）=1+a-4asinx-acos²x（a為常數且a≠0，x∈R），求f（x）的最值．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：f（x）=asin²x-4asinx+1，令sinx=t，t∈[-1，1]，則函數即y=at²-4at+1，對稱軸為直線x=2．分當a＜0時和a＞0時兩種情況，分別利用二次函數的單調性，求得函數y的最值．

解答： 解：f（x）=1+a-4asinx-acos²x=asin²x-4asinx+1，
令sinx=t，t∈[-1，1]，則y=at²-4at+1，對稱軸為直線x=2．
a＜0時，y=at²-4at+1在[-1，1]內遞增，故當t=-1，y_min=a+4a+1=5a+1；
當t=1，y_max=a-4a+1=-3a+1．
a＞0時，y=at²-4at+1在[-1，1]內遞減，故當t=-1，y_max=a+4a+1=5a+1；
當t=1，y_min=a-4a+1=-3a+1．

點評：本題主要正弦函數的定義域和值域，二次函數的性質，體現了轉化以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．