Question

已知函數f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ為銳角，且f(θ＋)＝，求tan2θ的值.

Answer 1

(1) f(x)的最小正周期為＝π，最大值為.(2) tan2θ＝＝2.

解析試題分析：利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求出函數f （x）的最小正周期,最大值易求.
（Ⅱ）由f(θ＋)＝可得sin(2θ＋)＝,從而可得cos2θ＝，再注意研究0＜2θ＜π,進而可利用求出sin2θ,進而可求出tan2θ＝.
(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)
＝sin(2x＋).
∴f(x)的最小正周期為＝π，最大值為.…………（6分）
(2)∵f(θ＋)＝，  ∴sin(2θ＋)＝.  ∴cos2θ＝.
∵θ為銳角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π.
∴sin2θ＝.
∴tan2θ＝＝2.…………（13分）.
考點：倍角公式及兩角和的正弦公式，正切公式，函數的性質,同角三角函數的基本關系式.
點評：本題主要是利用三角函數的二倍角公式，兩角和的正弦公式，求解函數的最小正周期和最值，還考查了利用同角三角函數式求出其余名函數值，進而得到tan2θ的值.