Question

已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM、k_PN，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線＝1寫(xiě)出具有類(lèi)似特性的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

若M、N是雙曲線：＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．

類(lèi)似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線：＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時(shí)，那么k_PM與k_PN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．證明如下：
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m，n)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(－m，－n)，其中＝1.
又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由k_PM＝，k_PN＝，得k_PM·k_PN＝·＝，
將y²＝x²－b²，n²＝m²－b²代入得k_PM·k_PN＝.