Question

（理）已知函數f（x）=sinx+ln（1+x）．
（I）求證：

1

n

＜f（

1

n

）＜

2

n

（n∈N⁺）；
（II）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x根據其單調性可得（x）在（0，+∞）遞增以及G（x）在（0，1]遞增，從而可得結論．
（II）結合第一問的結果對a的取值分情況討論，結合其單調性即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） 令g（x）=2x-f（x），G（x）=f（x）-x．
∵g′（x）=2-cosx-

1

x+1

，定義域為（0，+∞）；
∴g（x）在（0，+∞）遞增，⇒g（

1

n

）＞g（0）⇒2×

1

n

-f（

1

n

）＞0⇒f（

1

n

）＜

2

n

；
G（x）在（0，1]遞增⇒G（

1

n

）＞G（0）⇒f（

1

n

）-

1

n

＞0⇒f（

1

n

）＞

1

n

．
從而可得結論．
（Ⅱ）  ①當a≥2時，對x≥0，由（Ⅰ） 的證明知f（x）≤2x≤ax．
②當a≤0時，f(

π

2

)=1+ln(1+

π

2

)＞0≥a•

π

2

，不合題意．
③當0＜a＜2時，今F（x）=f（x）-ax．
則F′(x)=cosx+

1

1+x

-a=(cosx-

a

2

)+(

1

1+x

-

a

2

)．
取x0=min{arccos

a

2

，

2

a

-1}．則x₀＞0．
易知當x∈（0，x₀）時，F'（x）＞0，
∴F（x）遞增⇒F（x）＞F（0）=0，即f（x）＞ax，不合題意．
綜上知：a∈[2，+∞）．

點評：本題主要考察利用導數研究函數的單調性．導函數大于0對應的范圍是原函數的增區間；導函數小于0對應的范圍是原函數的減區間．