Question

（理） 已知函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）若關于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出函數的導函數，然后根據在某點取極值的意義可知f′（1）=0，解之即可；
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，故x²-3x+lnx+b=0，設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），研究當x變化時，g（x），g（x）的變化情況，確定函數的最值，從而可建立不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）f′（x）=1-

1

x+a

，
∵函數f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值
∴f′（1）=0，∴a=0
（2）由（1）知f（x）=x-lnx，∴f（x）+2x=x²+b    
∴x-lnx+2x=x²+b，∴x²-3x+lnx+b=0
設g（x）=x²-3x+lnx+b（x＞0），則g′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

當x變化時，g′（x），g（x）的變化情況如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗	b-2+ln2

∴當x=1時，g（x）_最小值=g（1）=b-2，g（

1

2

）=b-

5

4

-ln2，g（2）=b-2+ln2
∵方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有兩個不相等的實數根
∴

g( 1 2 )≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

，∴

b- 5 4 -ln2≥0 b-2＜0 b-2+ln2≥0

，∴

5

4

+ln2≤b＜2

點評：本題主要考查函數的極值以及根的存在性及根的個數判斷，同時考查了利用構造函數法證明不等式，是一道綜合題，有一定的難度