Question

（12分）已知拋物線：過點.（1）求拋物線的方程，并求其準線方程；
（2）是否存在平行于（為坐標原點）的直線，使得直線與拋物線有公共點，且直線與的
距離等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）. （2）符合題意的直線存在，其方程為.

試題分析：（1）將點（1，-2）代入拋物線方程可求出p值，從而得到拋物線的方程，進而得到其準線方程.
(2) 假設存在符合題意的直線，其方程為,由于直線l與拋物線C有公共點，所以它與拋物線方程聯立消去x后得到關于y的一元二次方程的判斷式,從而解得.
然后再利用平行線間的距離公式得到t的方程求出t值，看是否滿足t的范圍，從而確定是否存在這樣的直線.
（1）將代入，得，故所求的拋物線的標準方程為.
其準線方程為.  ………  4分
（2）假設存在符合題意的直線，其方程為.由，得.
因為直線與拋物線有公共點，所以，解得.另一方面，由直線與的距
可得，解得.又因為，，所以符合題意的直線存在，其方程為
.…12分
點評：直線與拋物線的位置關系的判定可由它們的方程聯立消去一個變量后得到另一個變量的二次方程，再通過判別式進行判斷即可.但要注意二次項系數是否為零的問題.