Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側棱A₁A⊥底面ABC，且各棱長均相等．D，E，F分別為棱AB，BC，A₁C₁的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面A₁CD；
（Ⅱ）證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）求直線BC₁與直線AC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連接ED，要證明EF∥平面平面A₁CD，只需證明EF∥DA₁即可．
（Ⅱ）欲證平面平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，即證平面內一直線與另一平面垂直，根據直線與平面垂直的判定定理證得CD⊥面A₁ABB₁，再根據面面垂直的判定定理得證．
（Ⅲ）連結BC₁，A₁B，則∠BC₁A₁是直線BC₁與直線AC所成角，由此能求出直線BC₁與直線AC所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，連接ED，
可得DE∥AC，DE=

1

2

AC，又F為棱A₁C₁的中點．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，
所以A₁DEF是平行四邊形，所以EF∥DA₁，
DA₁?平面A₁CD，EF?平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD
（Ⅱ）證明：∵D是AB的中點，∴CD⊥AB，
又AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD?面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）解：連結BC₁，A₁B，
∵AC∥A₁C₁，∴∠BC₁A₁是直線BC₁與直線AC所成角，
設棱長為2，由題意知A₁C₁=2，
A₁B=C₁B=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，
∴cos∠BC₁A₁=

4+12-12

2×2×2 3

=

3

6

．
∴直線BC₁與直線AC所成角的余弦值為

3

6

．

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．