Question

設數列{a_n}滿足a₁ = 3，a_n+1 = 2a_n+n·2ⁿ⁺¹+3ⁿ，n≥1。

（1）求數列{a_n}的通項公式；

（2）求數列{a_n}的前n項之和S_n。

Answer 1

（1）a_n=2^n-1·(n²-n)＋3ⁿ；

（2）S_n= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4

(1) a_n= 2a_n-1＋(n-1)·2ⁿ＋3^n-1
=2[2a_n-2+(n-2)·2^n-1＋3^n-2]＋(n-1)·2ⁿ＋3^n-1
=2²a_n-2＋[(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2·3^n-2＋3^n-1)
=2²[2a_n-3＋(n-3)·2^n-2＋3^n-3]＋[(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2·3^n-2＋3^n-1)
=2³a_n-3＋[(n-3)＋(n-2)＋(n-1)]·2ⁿ＋(2²·3^n-3＋2·3^n-2＋3^n-1)
=……
=2 ^n-1a₁＋[1＋2＋3＋…＋(n-1)]·2ⁿ＋(2^n-2·3＋2^n-3·3²＋…＋3^n-1)
=2^n-1·3＋·2ⁿ＋2^n-2·3·
=2^n-1·(n²-n＋3)＋2^n-1·3[()^n-1-1]
=2^n-1·(n²-n)＋3ⁿ。
(2)設數列{b_n}，其中b_n =2^n-1·(n²-n)，M_n 為其前n項和，則S_n= M_n＋3ⁿ。
M_n =0＋1·2·2¹＋2·3·2²＋3·4·2³＋…＋(n-1)·n·2^n-1，
2M_n = 1·2·2²＋2·3·2³＋…＋(n-1)·n·2ⁿ，
相減得 - M_n = 1·2·2＋2·2·2²＋3·2·2³＋…＋2·(n-1)·2^n-1- (n-1)n·2ⁿ
=1·2²＋2·2³＋3·2⁴＋…＋(n-1)·2ⁿ- (n-1)n·2ⁿ，
-2 M_n = 1·2³＋2·2⁴＋3·2⁵＋…＋(n-1)·2ⁿ⁺¹- (n-1)·n·2ⁿ⁺¹，
相減得 M_n = 1·2²＋2³＋2⁴＋…＋2ⁿ- (n-1)·2 ⁿ⁺¹＋(n-1)n·2ⁿ
= (2-n)·2 ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4，
S_n = M_n＋3＋3²＋…＋3ⁿ
= - (n-2)·2ⁿ⁺¹＋(n-1)·n·2ⁿ-4。