Question

已知tanα=

3

4

，  cos(α+β)=-

12

13

，且α

，

β∈(0

，

π

2

)．
（1）求

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

的值； （2）求cosβ的值．

Answer 1

分析：（1）先化簡

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

，得到用正切表達的代數式，再代入tanα=

3

4

求出值；
（2）由于β=α+β-α，故可先求出α與α+β的正余弦值，再用余弦的差角公式將cosβ用α與α+β的正余弦值表示出來，然后求值；

解答：解  （1）∵tanα=

3

4

，
∴

2cos2 α 2 -sinα-1

2 sin(α+ π 4 )

=

cosα-sinα

cosα+sinα

=

1-tanα

1+tanα

=

1

7

（2）∵α，β∈（0，

π

2

) ，tanα=

3

4

，  cos(α+β)=-

12

13

∴cosα=

4

5

 ，又sin（α+β）=

5

13

則cosβ=cos[（α+β）-α]
=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

13

×

4

5

+

5

13

×

3

5

=-

33

65

點評：本題考查考查三角函數的化簡求值，解題的關鍵是對三角函數的解析式化簡，利用余弦的二倍角公式與正弦的和角公式進行變形，再由同角三角函數基本關系將代數式用正切表示出來，本題第二小題用到了角的變換，角的變換是探究已知與未知角的關系常用的方法