Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0；
②關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根，則實數(shù)a=-1；
③若函數(shù)f（x）=lg（x²+ax-a）的值域是R，則a≤-4或a≥0；
④若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=0對稱．
其中所有正確命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：①中|x|恒為非負數(shù)，只要去掉常數(shù)項即可；
②分a=0與a≠0討論解決；
③令g（x）=x²+ax-a，依題意，x²+ax-a=0有實數(shù)根，△≥0，從而可求得a的范圍；
④函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)⇒y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，從而可判斷④的正誤；

解答：解：∵①中|x|恒為非負數(shù)，故只要去掉常數(shù)項即可，
∴當c=0時，f（x）=x|x|+bx，
∴f（-x）=-x|-x|-bx=-x|x|-bx=-（x|x|+bx）=-f（x），
∴f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)；
反之，若f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)，則f（0）=c=0，
∴c=0，
∴函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c為奇函數(shù)的充要條件是c=0，正確；
對于②，∵關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根，
∴當a=0時，有-1=0，不符合題意，故舍去；
當a≠0時，ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數(shù)根，則△=4a²+4a=0，
解得a=-1，a=0（舍去），
∴a=-1，故②正確；
③令g（x）=x²+ax-a，依題意，x²+ax-a=0有實數(shù)根，
∴△=a²+4a≥0，
解得：a≥0或a≤-4，故③正確；
對于④，∵函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=f（x-1），
∴y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，而不是關于直線x=0對稱，故④錯誤；
綜上所述，正確的是①②③．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數(shù)的奇偶性、對稱性與最值，屬于中檔題．