Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AA₁=2，N是A₁D的中點，M∈BB₁，異面直線MN與A₁A所成的角為90°．
（1）求證：點M是BB₁的中點；
（2）求直線MN與平面ADD₁A₁所成角的大小；
（3）求二面角A-MN-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）由題意取AA₁的中點P利用題中的N是A₁D的中點，得到線面垂直，在得到線線垂直進(jìn)而線線平行即可得正中點；
（2）由題意及（1）知∠PNM即為MN與平面ADD₁A₁所成的角，然后在三角形中解出即可；
（3）因為N是A₁D的中點，M是BB₁的中點，得到三角形相似，在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，得到二面角的平面角，在三角形中解出．

解答：解：（1）證明：取AA₁的中點P，連接PM，PN．
∵N是A₁D的中點，∴AA₁⊥PN，又∵AA₁⊥MN，MN∩PN=N，
∴AA₁⊥面PMN．
∵PM?面PMN，∴AA₁⊥PM，∴PM∥AB，
∴點M是BB₁的中點．
（2）由（1）知∠PNM即為MN與平面ADD₁A₁所成的角．
在Rt△PMN中，易知PM=1，PN=

1

2

，
∴tan∠PNM=

PM

PN

=2，∠PNM=arctan2．
故MN與平面ADD₁A₁所成的角為arctan2．
（3）∵N是A₁D的中點，M是BB₁的中點，∴A₁N=AN，A₁M=AM，
又MN為公共邊，∴△A₁MN≌△AMN．
在△AMN中，作AG⊥MN交MN于G，連接A₁G，則∠A₁GA即為二面角A-MN-A₁的平面角．
在△A₁GA中，AA₁=2，A₁G=GA=

30

5

，
∴cos∠A₁GA=

A1G2+GA2- AA 2 1

2A1G•GA

=-

2

3

，∴∠A₁GA=arccos（-

2

3

），
故二面角A-MN-A₁的大小為arccos（-

2

3

）．

點評：此題重點考查了利用線線垂直得到線面垂直在得到線線垂直，利用同一個平面內(nèi)垂直同一條直線的兩條直線平行的性質(zhì)，還考查了利用二面角平面角的定義求出二面角的大小及反三角的表示角的大小的知識，此還考查了余弦定理求角的大小．