Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=4，AB=2，E是棱CC₁上的一個動點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面AA₁D₁D；
（Ⅱ）當CE=1時，求二面角B-ED-C的大小；
（Ⅲ）當CE等于何值時，A₁C⊥平面BDE．

Answer 1

分析：方法一：
（1）證明一條直線與一個平面平行，除了可以根據直線與平面平行的判定定理以外，通常還可以通過平面與平面平行進行轉化，比如在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，BE?平面BB₁C₁C，所以BE∥平面AA₁D₁D．
（2）二面角的度量關鍵在于找出它的平面角，構造平面角常用的方法就是三垂線法．BC⊥平面C₁CDD₁，所以過C作CH⊥ED于H，連接BH，則∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
（3）由三垂線定理可知，A₁C⊥BD；故只需要在平面BDE再構造一條相交直線與A₁C垂直即可：連接B₁C，因為A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影，由三垂線定理可知，只需B₁C⊥BE，則A₁C⊥BE
方法二：
以A為坐標原點，分別以AB、AD、AA₁為x、y、z軸，建立空間直角坐標系A-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決．（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可．

解答：解：方法一：
（Ⅰ）證明：由已知，ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
所以平面BB₁C₁C∥平面AA₁D₁D，
又因為BE?平面BB₁C₁C，
所以，BE∥平面AA₁D₁D．（4分）

（Ⅱ）解：如圖，過C作CH⊥ED于H，連接BH．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，所以BC⊥平面C₁CDD₁．
則CH是斜線BH在面C₁CDD₁上的射影，所以BH⊥ED．
所以∠BHC是二面角B-ED-C的平面角．
在Rt△ECD中，易知CH•ED=EC•CD．
因為EC=1，CD=2，ED=

5

，所以CH=

2

5

．
在Rt△BCH中，tan∠BHC=

BC

CH

=

2

2 5

=

5

，所以∠BHC=arctan

5

，
所以，二面角B-ED-C的大小是arctan

5

．（9分）

（Ⅲ）如圖，連接AC交BD于點O，
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD，
由三垂線定理可知，A₁C⊥BD．
連接B₁C，因為A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，
所以B₁C是A₁C在平面B₁BCC₁上的射影．
要使A₁C⊥平面BDE，只需A₁C⊥BE，由三垂線定理可知，只需B₁C⊥BE．
由平面幾何知識可知，
B₁C⊥BE?△BCE∽△B₁BC?

CE

BC

=

BC

B1B

．
由已知BB₁=AA₁=4，BC=AB=2，所以CE=

BC2

B1B

=

22

4

=1．
即當CE=1時，A₁C⊥平面BDE．（14分）

方法二：
建立空間直角坐標系A-xyz，如圖．
（Ⅰ）證明：依題意可設E（2，2，z），
因為B（2，0，0），所以

BE

=（0，2，z）．
又因為

AB

=(2，0，0)，

AB

為平面AA₁D₁D的法向量．
且

BE

•

AB

=(2，0，0)•(0，2，z)=0，
所以

BE

⊥

AB

，而BE?平面AA₁D₁D，
所以，BE∥平面AA₁D₁D．

（Ⅱ）因為CE=1，所以E（2，2，1），又B（2，0，0），D（0，2，0），
所以

BE

=（0，2，1），

BD

=(-2，2，0)．
設平面BDE的法向量為

n

=(x，y，1)，
由

n• BE =0 n• BD =0

得

2y+1=0 -2x+2y=0

所以

x=- 1 2 y=- 1 2

所以n=(-

1

2

，-

1

2

，1)．又AD⊥面CC₁D₁D，所以

AD

為平面CDE的法向量．
因為

AD

=(0，2，0)，所以cos?n，

AD

?=

-1

4 • 1 4 + 1 4 +1

=-

6

6

．
由圖可知，二面角的平面角小于90°，所以二面角B-ED-C的大小是arccos

6

6

．

（Ⅲ）解：連接AC交BD于點O．
因為ABCD-A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
所以AC⊥BD．
要使A₁C⊥平面BDE，只需A₁C⊥BE．
由題意B（2，0，0），C（2，2，0），A₁（0，0，4），
設CE=x，則E（2，2，x），
所以

BE

=(0，2，x)，

A1C

=(2，2，-4)．
由

BE

•

A1C

=0，得（0，2，x）•（2，2，-4）=0×2+2×2+x×（-4）=4-4x=0，
解得x=1．所以CE=1時，A₁C⊥平面BDE．

點評：本小題主要考查空間線面關系、二面角的度量等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．