Question

（2009•宜昌模擬）如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=BC=1，AA₁=2．過頂點D₁在空間作直線l，使l與直線AC和BC₁所成的角都等于60°，這樣的直線l最多可作（　　）

A．1條

B．2條

C．3條

D．4 條

Answer 1

分析：連結AD₁ 、D₁ C，由正四棱柱的性質和余弦定理算出cos∠D₁ AC=

1

10

＜

1

2

，可得AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．將l、AC、BC₁ 平移到l'、A'C'、B'C₁'，并l'、A'C'、B'C₁'過同一點M，由∠B'MA'的平分線與A'C'、B'C₁'成的角均小于60°，再過角平分線作輔助平面γ垂直于與A'C'、B'C₁'所在的平面，讓l'繞著點M在平面γ內按逆時針方向轉動，加以觀察可得符合條件的直線有2條．同理得到∠B'MC'的平分線方向上也有2條符合題意的直線，這樣滿足條件的直線一共有4條．

解答：解：正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，連結AD₁ 、D₁ C，則AD₁ ∥BC₁ ．
在△AD₁ C中，易得AD₁ =CD₁ =

5

，AC=

2

，
∴cos∠D₁ AC=

5+2-5

2× 5 × 2

=

1

10

＜

1

2

，
從而AC和BC₁ 所成的角α大于60°小于90°．
空間中過不同的定點作直線與已知直線成一定條件的角的直線條數相等，
因此可作l、AC、BC₁ 的平行線l'、A'C'、B'C₁'，
讓l'、A'C'、B'C₁'過同一點M．
①∠B'MA'=180°-α，同一平面內角∠B'MA'的平分線正好與A'C'、B'C₁'
成的角均為

180°-α

2

＜60°．
過此時的角平分線作平面γ，使γ垂直于與A'C'、B'C₁'所在的平面，
當l'繞著點M在平面γ內按逆時針方向轉動時，
l'與A'C'、B'C₁'所成的角由

180°-α

2

增大到90°，
再由90°減小到

180°-α

2

（還原），符合條件的直線有2條．
②∠B'MC'=α∈（60°，90°），
同一平面內角∠B'MC'的平分線與A'C'、B'C₁'成的角均為

α

2

＜60°．
過此時的角平分線作平面β，使β垂直于A'C'、B'C₁'所在的平面，
當l'繞著點M在平面β內按逆時針方向轉動時，l'與A'C'、B'C₁'
所成的角由

α

2

增大到90°，再由90°減小到

α

2

（還原），
符合條件的直線也有2條．
因此，可得符合條件的直線共有4條．
故選：D

點評：本題給出正四棱柱，求過頂點D₁滿足與直線AC和BC₁所成的角都等于60°的直線l的條數．著重考查了正四棱柱的性質、空間兩條直線所成角的定義及其應用的知識，屬于中檔題．