Question

已知a＞0，設p：函數y=a^x在R上單調遞減；q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R．如果p∨q為真，p∧q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先求命題P，命題q為真命題時a的范圍，再根據復合命題真值表分析求解．

解答：解：對于命題p：函數y=a^x在R上單調遞減⇒0＜a＜1．
對于命題q：不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，
即函數y=x+|x-2a|在R上恒大于1，
又y=

2x-2a，x≥2a 2a，x＜2a

，
∴y_min=2a＞1
即a＞

1

2

．
由p∨q為真，p∧q為假，根據復合命題真值表知p、q中一真一假．

如果p真q假，0＜a≤

1

2

；
如果p假q真，a≥1；
綜上所述，a的取值范圍為(0，

1

2

]∪[1，+∞)．

點評：本題考查復合命題的真假判斷及不等式恒成立問題．利用復合命題真值表．