Question

已知數列｛a_n｝、｛b_n｝、｛c_n｝的通項公式滿足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N⁺），若數列｛b_n｝是一個非零常數列，則稱數列｛a_n｝是一階等差數列；若數列｛c_n｝是一個非零常數列，則稱數列｛a_n｝是二階等差數列?

（1）試寫出滿足條件a₁＝1,b₁=1，c_n=1（n∈N⁺）的二階等差數列｛a_n｝的前五項；

（2）求滿足條件(1)的二階等差數列｛a_n｝的通項公式a_n；

（3）若數列｛a_n｝首項a₁＝2，且滿足c_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹（n∈N⁺），求數列｛a_n｝的通項公式

Answer 1

（1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11

（2）a_n＝(n²-n+2)/2

（3）a_n=4ⁿ-2ⁿ

 （1）a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=7，a₅=11
（2）依題意b_n+1-b_n=c_n=1，n=1，2，3，…
所以b_n=（b_n-b_n-1）＋（b_n-1-b_n-2）＋（b_n-2-b_n-3）＋…+（b₂-b₁）+b₁=1+1+1+…+1=n
又a_n+1-a_n=b_n＝n，n=1，2，3，…所以a_n＝（a_n-a_n-1）＋（a_n-₁-a_n-2）＋（a_n-2-a_n-3）＋…+（a₂-a₁）＋a_１
=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=n（n-1）/2+1=(n²-n+2)/2 
（3）由已知c_n-b_n+1＋3a_n= -2ⁿ⁺¹，可得b_n+1-b_n-b_n+1+3a_n＝-2ⁿ⁺¹，即b_n-3a_n=2ⁿ⁺¹，∴a_n+1=4a_n+2ⁿ⁺¹．
解法一：整理得：a_n+1＋2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），
因而數列｛a_n+2ⁿ｝是首項為a₁+2=4，公比為4的等比數列，
∴a_n+2ⁿ＝4·4^n-1＝4ⁿ，即a_n=4ⁿ-2ⁿ
解法二：在等式a_n+1＝4a_n+2ⁿ⁺¹兩邊同時除以2ⁿ⁺¹得：a_n+1/2ⁿ⁺¹=2·a_n/2ⁿ＋１
令k_n=a_n/2ⁿ，則k_n+1＝2k_n+1，即k_n+1＋１＝2（k_n+1）
故數列｛k_n+1｝是首項為2，公比為2的等比數列所以k_n+1=2·2^n-1＝2ⁿ，即k_n=2ⁿ-1．
∴a_n=2ⁿk_n=2ⁿ（2ⁿ-1）=4ⁿ-2ⁿ
解法三：∵a_１＝2，∴a₂＝12＝2^２×（2^２-1），a₃＝56＝2^３×（2^３-1），a₄＝32＝2^４×（2^４-1）
猜想：a_n=2ⁿ（2ⁿ-1）＝4ⁿ-2ⁿ
下面用數學歸納法證明如下：（i）當n=1時，a_１＝2＝4-2，猜想成立；
（ii）假設n=k時，猜想成立，即a_k=4^k-2^k．那么當n=k+1時，a_k+1＝4a_k+2^k+1＝4（4^k-2^k）＋2^k+1=4^k+1-2^k+1，結論也成立∴由（i）、（ii）可知，a_n=4ⁿ-2ⁿ