Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B，并求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用AA₁C₁C是正方形，可得AA₁⊥AC，再利用面面垂直的性質即可證明；
（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角；
（III）設點D的豎坐標為t，（0＜t＜4），在平面BCC₁B₁中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于數量積得關系即可得出．
解答：（I）證明：∵AA₁C₁C是正方形，∴AA₁⊥AC．
又∵平面ABC⊥平面AA₁C₁C，平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC，
∴AA₁⊥平面ABC．
（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．
∴AC²+AB²=BC²，∴AB⊥AC．
建立如圖所示的空間直角坐標系，則A₁（0，0，4），B（0，3，0），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
∴，，．
設平面A₁BC₁的法向量為，平面B₁BC₁的法向量為=（x₂，y₂，z₂）．
則，令y₁=4，解得x₁=0，z₁=3，∴．
，令x₂=3，解得y₂=4，z₂=0，∴．
===．
∴二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值為．
（III）設點D的豎坐標為t，（0＜t＜4），在平面BCC₁B₁中作DE⊥BC于E，可得D，
∴=，=（0，3，-4），
∵，∴，
∴，解得t=．
∴．
點評：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質定理、面面垂直的性質定理、通過建立空間直角坐標系利用法向量求二面角的方法、向量垂直與數量積得關系等基礎知識與基本方法，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．