Question

【題目】已知△DEF三邊所在的直線分別為l1:x=－2，l2：x+y－4=0，l3：x－y－4=0，⊙C為△DEF的內切圓.

（1）求⊙C的方程；

（2）設⊙C與x軸交于A、B兩點，點P在⊙C內，且滿足.記直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，求k1 k2的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=4.（2）(－1，0]

【解析】

（1)解法一：設C(a，b)，⊙C半徑為r，則

，

結合點C(a，b)在△DEF內，可得.

解得a=b=0，r=2.

∴⊙C的方程為x2+y2=4.

解法二：設C(a，b)，⊙C半徑為r.

如圖，由條件知，l2、l3的傾斜角分別為150°和30°，且它們關于x軸對稱，同時l1⊥x軸.

因此，△DEF為正三角形.

∴點C在x軸上，且a=－2+r，b=0.

由l2、l3交x軸于點D(4，0)，知△DEF的高為6.

∴，a=0.

∴⊙C的方程為x2+y2=4.

（2）由（1）知，C(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).設P(x，y)，則x2+y2<4.

∵，

∴，

化簡得，x2－y2=2.

∴.

由x2+y2<4，以及x2－y2=2，y2≥0，得2≤x2<3.

∴k1 k2∈(－1，0].

∴k1 k2的取值范圍為(－1，0].