Question

已知函數f(x)＝x³－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.
(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；
(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于P的直線方程．

Answer 1

(1)所求直線方程為y＝－2；(2) 9x＋4y－1＝0.

(1)根據導數的幾何意義求曲線y＝f(x)在以P(1，－2)為切點的切線方程；
由f(x)＝x³－3x，得f′(1)＝0，又直線過點P(1，－2)，所以所求直線方程為y＝－2；
（2）首先設出過P(1，－2)的直線l與y＝f(x)切于另一點Q(x₀，y₀) （），利用，即，整理得x₀³－3x₀＋2＝3(x₀²－1)·(x₀－1)，解得x₀＝1(舍)或x₀＝－，所求直線的斜率為k＝3×(－1)＝－，方程為
y－(－2)＝－ (x－1)，即9x＋4y－1＝0.