Question

已知點F、A、B分別為橢圓的左焦點、右頂點、上頂點，且∠FBA為鈍角，則橢圓的離心率的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：依題意可得，a²+a²+b²＜（a+c）²，而橢圓的離心率e=∈（0，1），從而可求得該橢圓的離心率的取值范圍．
解答：解：依題意作圖如下：

其中|BF|=a，|AF|=a+c，|BA|²=a²+b²，
∵∠FBA為鈍角，
∴|BF|²+|BA|²＜|AF|²，
即a²+a²+b²＜（a+c）²，
∴c²+ac-a²＞0，等號兩邊同除以a²得，e²+e-1=0，
∴e＞或e＜（舍），又e∈（0，1），
∴＜e＜1．
∴該橢圓的離心率的取值范圍是（，1）．
故答案為：（，1）．
點評：本題考查橢圓的簡單性質，考查a，b，c之間關系的靈活應用，考查三角形的性質及橢圓的離心率，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．