Question

如圖，已知平面α∥β∥γ，直線a，b分別交α，β，γ于點A，B，C和D，E，F，
（1）求證：

AB

BC

=

DE

EF

；
（2）若AB=1，BC=2，AD=3，CF=6，當AD與CF所成的角為60⁰時，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AF，交β于點G，則點A，B，C，G共面，由β∥α，面ACF∩β=BG，面ACF∩γ=CF，知BG∥CF，

AB

BC

=

AG

GF

，同理，

AG

GF

=

DE

EF

，由此能夠證明

AB

BC

=

DE

EF

．
（2）連接BG，EG，由AB=1，BC=2，CF=6，

AB

AC

=

BG

CF

，知BG=2，由

AB

AC

=

AG

CF

=

GE

AD

，AD=3，知GE=2，再由AD與CF所成的角為60°，知∠BGE=60°或∠BGE=120°，由此能求出BE．

解答：解：（1）連接AF，交β于點G，則點A，B，C，G共面，
∵β∥α，面ACF∩β=BG，面ACF∩γ=CF，
∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，
∴

AB

BC

=

AG

GF

，
同理，有AD∥GE，

AG

GF

=

DE

EF

，
∴

AB

BC

=

DE

EF

．
（2）∵α∥β∥γ，AD?α，CF?γ，
且AD與CF所成的角為60⁰，
∴AD與CF是異面直線．
連接BG，EG，
∵AB=1，BC=2，CF=6，

AB

AC

=

BG

CF

，∴BG=2，
∵

AB

AC

=

AG

CF

=

GE

AD

，AD=3，∴GE=2，
∵AD與CF所成的角為60°，∴∠BGE=60°或∠BGE=120°，
當∠BGE=60°時，△BGE為等邊三角形，此時BE=2，
當∠BGE=120°時，BE²=BG²+GE²-2BG•GE•cos120°=12，
此時BE=2

3

，綜上所述，
BE=2或BE=2

3

．

點評：本題考查線段成比例的證明，考查線段長的求法，解題時要認真審題，仔細解答．