Question

已知點F（a，0）（a＞0），直線l：x=-a，點E是l上的動點，過點E垂直于y軸的直線與線段EF的垂直平分線交于點P．
（1）求點P的軌跡M的方程；
（2）若曲線M上在x軸上方的一點A的橫坐標為a，過點A作兩條傾斜角互補的直線，與曲線M的另一個交點分別為B、C，求證：直線BC的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）由垂直平分線的性質可得|PF|=|PE|，從而有點P的軌跡是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線．根據拋物線的定義可求
（2）直線AB的斜率為k（k≠0），點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．則直線AB的方程為y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．由y₁，2a是方程的兩個根，可求y1=

2a(2-k)

k

，同理可得y2=-

2a(2+k)

k

，代入斜率公式可求

解答：解：（1）連接PF．∵點P在線段EF的垂直平分線上，
∴|PF|=|PE|．∴點P的軌跡是以F為焦點，以直線l為準線的拋物線．
∴p=2a．∴點P的軌跡為M：y²=4ax（a＞0）．
（2）直線AB的斜率為k（k≠0），點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），A（a，2a）．
則直線AB的方程為y-2a=k（x-a）.

y-2a=k(x-a) y2=4ax.

消去x，得ky²-4ay+4a²（2-k）=0．
△=16a²（k-1）²≥0
∵y₁，2a是方程的兩個根，
∴2ay1=

4a2(2-k)

k

．，∴y1=

2a(2-k)

k

．
依題意，直線AC的斜率為-k．
同理可得y2=-

2a(2+k)

k

．
∴y1+y2=

2a(2-k)

k

+

-2a(2+k)

k

=-4a．
∴kBC=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y 2 2 4a - y 2 1 4a

=

4a

y1+y2

=-1
所以直線BC的斜率為定值．

點評：本題主要考查了拋物線的定義，解決（1）的關鍵是要熟練應用線段垂直平分線的性質進行轉化；（2）主要考查了處理直線與拋物線的位置關系，處理的思路是聯立方程，通過方程進行求解．