【題目】對于正整數
，如果
個整數
滿足
，
且
，則稱數組
為的一個“正整數分拆”.記均為偶數的“正整數分拆”的個數為
均為奇數的“正整數分拆”的個數為
.
(Ⅰ)寫出整數4的所有“正整數分拆”;
(Ⅱ)對于給定的整數
，設是的一個“正整數分拆”，且
，求
的最大值;
(Ⅲ)對所有的正整數，證明:
;并求出使得等號成立的的值.
(注:對于的兩個“正整數分拆”與
，當且僅當
且
時，稱這兩個“正整數分拆”是相同的.)
【答案】(Ⅰ) 
，
，
，
，
；(Ⅱ) 
為偶數時，
，為奇數時，
；(Ⅲ)證明見解析，
，
【解析】
(Ⅰ)根據題意直接寫出答案.
(Ⅱ)討論當為偶數時，
最大為，當為奇數時，最大為，得到答案.
(Ⅲ) 討論當為奇數時，
，至少存在一個全為1的拆分，故
，當為偶數時，
根據對應關系得到
，再計算
，
，得到答案.
(Ⅰ)整數4的所有“正整數分拆”為：，，，，.
(Ⅱ)當為偶數時，
時，最大為；
當為奇數時，
時，最大為；
綜上所述：為偶數，最大為，為奇數時，最大為.
(Ⅲ)當為奇數時，，至少存在一個全為1的拆分，故；
當為偶數時，設
是每個數均為偶數的“正整數分拆”，
則它至少對應了
和
的均為奇數的“正整數分拆”，
故.
綜上所述：.
當時，偶數“正整數分拆”為
，奇數“正整數分拆”為
，；
當時，偶數“正整數分拆”為，，奇數“正整數分拆”為，
故；
當
時，對于偶數“正整數分拆”，除了各項不全為
的奇數拆分外，至少多出一項各項均為的“正整數分拆”，故.
綜上所述：使
成立的為：或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，過點
的直線
與
有兩個不同的交點
，線段
的中點為
，
為坐標原點，直線與直線
分別交直線
于點
.
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求線段
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
與圓
：
外切且與
軸相切.
（1）求圓心的軌跡
的方程；
（2）過作斜率為
的直線
交曲線于
，
兩點，
①若
，求直線的方程；
②過，兩點分別作曲線的切線
，
，求證：，的交點恒在一條定直線上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試,現從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數據并按分數段
進行分組,假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替,則得到體育成績的折線圖（如下）:
（Ⅰ）體育成績大于或等于70分的學生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級有1000名學生,試估計高一全年級中“體育良好”的學生人數;
（Ⅱ）為分析學生平時的體育活動情況,現從體育成績在
和
的樣本學生中隨機抽取2人,求在抽取的2名學生中,至少有1人體育成績在
的概率;
（Ⅲ）假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為
且分別在
三組中,其中
當數據
的方差
最小時,寫出
的值.（結論不要求證明）
（注: 
,其中
為數據
的平均數）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，平面
平面
，底面
為梯形，
，
，且
，
，
．
（I）求證：
；
（II）求二面角_____的余弦值；
從①
，②
，③
這三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
（III）若
是棱
的中點，求證：對于棱
上任意一點
，
與
都不平行．
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