Question

【題目】如圖，且，，且，且，平面，.

（1）若為的中點，為的中點，求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）.

【解析】

（1）根據題意,建立空間直角坐標系,只需證明與平面的法向量垂直,即可證明平面.

（2）分別求平面的法向量和平面的法向量,即可求得二面角的正弦值.

解：依題意,可以建立以為原點,

分別以,,的方向為軸,軸,軸的正方向的空間直角坐標系（如圖）,

可得,,,,,

,,,.

（1）證明:依題意,．

設為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

又,可得,

又因為直線平面,

所以平面.

（2）依題意,可得,,.

設為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

設為平面的法向量,

則,即,

不妨令,可得．

因此有,于是.

所以,二面角的正弦值為.