Question

在空間直角坐標系中，解答下列各題：
（1）在x軸上求一點P，使它與點P₀（4，1，2）的距離為

30

；
（2）在xOy平面內的直線x+y=1上確定一點M，使它到點N（6，5，1）的距離最小．

Answer 1

分析：（1）設出x軸上的點的坐標，根據它與已知點之間的距離，寫出兩點之間的距離公式，得到關于未知數的方程，解方程即可，注意不要漏掉解，兩個結果都合題意．
（2）先設點M（x，1-x，0），然后利用空間兩點的距離公式表示出距離，最后根據二次函數研究最值即可．

解答：解：（1）設點P的坐標是（x，0，0），
由題意|P0P|=

30

，
即

(x-4)2+12+22

=

30

，
∴（x-4）²=25．解得x=9或x=-1．
∴點P坐標為（9，0，0）或（-1，0，0）．先設點M（x，1-x，0），然后利用空間兩點的距離公式表示出距離，最后根據二次函數研究最值即可．
（2）設點M（x，1-x，0）
則|MN|=

(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2

=

2(x-1)2+51

∴當x=1時，|MN|min=

51

．
∴點M的坐標為（1，0，0）時到點N（6，5，1）的距離最小．

點評：本題考查空間兩點之間的距離公式，在兩點的坐標，和兩點之間的距離，這三個量中，可以互相求解．（1）中涉及二次函數研究最值問題，同時考查了計算能力，屬于基礎題．