Question

【題目】設f（x）= ，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）= 的導數為f′（x）=

則在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）= ，

由于在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，

則f′（1）= ，即 = ，

故a=0；

（2）解：由于f（x）= ，

當x=1時，f（1）=0，m（x﹣1）=0不等式f（x）≤m（x﹣1）成立，

當x＞1時，f（x）≤m（x﹣1）即為lnx≤m（x﹣ ）．

設g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），即x＞1時，g（x）≤0恒成立，

g′（x）= ﹣m（1 ）=

①若m≤0時，g′（x）＞0，則g（x）在x＞1上遞增，即有g（x）＞0，矛盾；

②若m＞0，﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2，

當△≤0時，即m≥ ，g′（x）≤0，即g（x）在x＞1上遞減，g（x）＜g（1）=0成立，

當△＞0時，即0＜m＜ 時，方程﹣mx2+x﹣m=0的根x1= ＜1，x2= ＞1．

當1＜x＜x2時，g′（x）＞0，g（x）在x＞1上遞增，g（x）＞g（1）=0矛盾．

綜上，實數m的取值范圍是：[ ，+∞）

【解析】（1）求得函數f（x）的導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；（2）先將原來的恒成立問題轉化為lnx≤m（x﹣ ）．設g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），即x＞1時，g（x）≤0恒成立，利用導數研究g（x）在（1，+∞）上單調性，求出函數g（x）的范圍，即可求得實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．